你大概推过秋千。在秋千摆荡到面前时轻轻一推，此时并不需要多大的力气，秋千却能越荡越高。

这在物理学上，被称作是一种“共振”现象。它并不神秘：你施加的外力，与秋千的自身节奏恰巧对上，能量因此持续累积。

物理学家发现，共振并不只存在于这样的日常经验里，也在微观粒子的相互作用之中。站在量子百年历史的当下，我们已经知道，粒子的运动远非是把我们的现实世界缩小那么简单，那是一个不确定、概率化的世界。微观粒子之间发生碰撞后又分开的过程，称之为“散射”。当粒子的能量合适时，散射会变得非常的强烈，这种散射被称为”共振散射“。共振散射往往意味着粒子之间存在着”有效“的吸引，使得它们在最终散开之前曾经有很大的机会结合在一起，这种状态被称为”共振态“。例如，在高能粒子物理研究中，大量的粒子都是作为碰撞过程产生的共振态而存在的。

那么，当成千上万个微观粒子一起运动时，它们之间的共振散射的研究，会变得更加丰富多彩。例如，在原子、分子物理中的费希巴赫共振（Feshbah Resonance）可以用来调控原子、分子间的相互作用。费米子配对超流是超冷原子实验的重要进展，就是建立在费希巴赫共振散射的基础之上的。

西湖大学吴从军课题组从理论上审视了这一问题。他们在大量微观粒子组成的多体系统中，发现了一种此前未被刻画的共振形式。用更专业的话来说，他们发现在多体相互作用与非厄米过程的耦合下，粒子间能够涌现出一种单向的吸引相互作用，他们称之为“多体单向共振”效应。研究团队还通过求解可积模型，对该现象做出严格的数学表达，进一步揭示了粒子集体行为背后的组织原理。

1月20日，该成果发表于Physical Review Letters (PRL)。

语言失效的世界

在微观粒子组成的量子世界，我们日常所倚仗的那些生活经验，都会变得不再可靠。

最简单的问题——粒子究竟在哪？

上世纪二十年代，德国物理学家海森堡提出了后来被称作“不确定性原理”的观点：一个粒子的位置和动量，无法同时被精准地确定。换句话说，当你试图回答“电子现在在哪”时，你就必须放弃对它运动状态的精确描述；反之亦然。

于此同时期，物理学家薛定谔提出描述量子系统的波动方程，第一次引入“波函数”的概念，用来描述微观粒子的整体物理状态；马克斯·玻恩提出：波函数的模平方，对应粒子在空间中出现的概率分布。

人们此间逐步意识到，量子力学原来需要的是一整套全新的语言。一种让人放弃追寻确定性的语言。这之后，才有了量子力学的百年发展。

“我的语言的边界就是世界的边界。”物理学家恐怕会坚定地相信这句话。

“神仙打架”的第五次索维尔会议（1927）

量子力学中，人们最熟悉的是束缚态，比如原子中的电子排布。这类量子态里各“成员”有稳定的关系，用行话说，束缚态是可以用平方可积的波函数来刻画。

共振态则不同。它最早出现在量子散射的研究中：比如说，一个入射粒子在靠近原子核时，它既不会被捕获，也没有被快速地散射弹开，而是彼此在近距离内握了一下手，“停留”了一会，而后方才逃逸。这是一种介于稳定的束缚态和自由传播的平面波之间的存在。

另一方面，真实世界几乎总是多体的。一小块金属中就包含了将近1023个电子。这样大量的粒子存在着众多的自由度，赋予了物质多种多样的量子物态。如何找到行之有效的方法来处理大量粒子系统的量子行为，是让凝聚态物理学家们为之努力的问题。

吴从军团队此项研究还有另一个关键词：非厄米。真实世界的量子系统，始终在与外部环境交换能量和粒子。数学及物理学家们，用“非厄米“来形容这种有着增益和损耗的系统。

正是在这样多体+非厄米的条件下，对共振态的描写变得很困难。不能简化为单个粒子的行为。粒子之间的关联、体系的开放性，都重塑着共振二字的含义。

所以，吴从军研究团队面对的，是一个具有相当挑战性的问题。

Eureka时刻

而物理研究神奇之处就在于，它能以完全意想不到的方式，回应你的好奇。

我们暂且先把那个有趣的计算结果按下不表。不妨先看看，这个研究是如何开展的。

课题组最初并未如此精确地瞄准多体共振。他们好奇的是：当多体系统引入非厄米性之后，粒子之间的相互作用会不会出现一些新奇的形式。

2021年，本文一作王越刚入学不久。当时非厄米系统已经引起了凝聚态物理界的广泛关注。该领域内有个很重要的发现叫非厄米趋肤效应，该效应指的是如果系统的两端有边界（物理学叫做开边界条件），粒子会局域在某一边的边界附近，即波函数在开放边界处表现出指数衰减。如下图所示，非厄米的趋肤效应，可以在一个具有手性的带扣在皮带上的滑动来形象地比喻。

王越从口袋里掏出了一条黑色皮带，来解释这件事。在中期答辩前，他也拿着这条皮带，在家里把研究成功地给妈妈讲明白了：想象一条皮带，上面有一个可以滑动的带扣（用蓝色方框表示）。带扣的“舌头”（方框中的绿色物体）只能向上抬起，所以它只能在皮带上向左滑动。右滑时“舌头”会被卡住，不得动弹。

非厄米系统中的粒子，就好比这些带扣。如果皮带有边界，那么带扣总是滑到左边界处停下来。这便是非厄米趋肤效应。请注意图中的皮带扣的指向也可以朝左，如果那样的话，皮带扣就只能向右运动，聚集到右边的边界。

导师吴从军给刚入学不久的王越一个带有直觉色彩的假想：在量子多体系统中，当粒子间存在强烈的排斥时，一个粒子很难从另外一个粒子的头上跨越过去。因此，一个粒子本身对其他粒子来说，就表现成一个软性的边界。在非厄米的条件下，粒子本身能否像“边界”一样，诱导出粒子间等效的吸引行为？

为了检验这一想法，他们选择首先在一维可积系统中研究这个问题。可积性有严格的数学定义，粗略地说就是系统存在着足够多的守恒量，使得它可以进行精确的描述。解决这一类问题的方法被称为Bethe ansatz (贝特方案)。著名物理学家杨振宁先生是一维可积系统的大师。他将贝特方案进行了进一步的推广，发现了优美的数学结果，被称之为杨-Baxter（巴克斯特）方程，是量子可积系统的经典之作。吴从军曾在西湖大学开设《杨振宁先生代表作导读》的线上课程，其中最后两讲就是关于可积模型和杨-巴克斯特方程的入门讲解。

一维可积系统是少数能够“算得清楚”的多体体系。你可以把它理解为只有前后两个方向的一维链条，链条上放着很多微观粒子，它们可以沿着链条运动。在非厄米的条件下，该系统的可积性是可以被保持的。

一维可积模型的核心是将多体散射问题转化成很多个两体散射问题。吴从军让王越首先求解两个自旋相反的粒子之间的碰撞问题。自旋是微观粒子（比如电子）的一个量子自由度，它可以朝上也可以朝下，也就是说粒子有两个不同的分量。在最简单的模型中，自旋相同的粒子之间没有相互作用，不存在碰撞。只有在自旋相反的粒子之间才有碰撞。

在引入非厄米性的时候，要把带扣的指向赋给粒子，那么是自旋相反的两种粒子是赋予相同的带扣指向呢，还是不同的带扣指向呢？

通过分析，他们发现当自旋相反的两个粒子被赋予了相同的带扣指向时，它们之间并不能诱导出彼此之间的吸引。相反，模型中粒子的行为更像是在你追我赶：每个带扣都只能向左滑动，一个追着另一个跑，碰不到一起。但是如果自旋相反的两个粒子赋予了两种相反的带扣指向的话，那它们就开始彼此吸引了。这可以用以下的图像来说明。

皮带上有两个相异的带扣，代表了两个自旋相反的粒子。一个只能向右滑动，一个只能向左滑动，他们彼此挡住了去路，注定会撞在一起——这意味着，两者之间会形成一种吸引，而且这种吸引是单向的：红色带扣总会待在蓝色带扣的左边。如果把它们对换一下，则它们之间存在着相反方向运动的趋势，也就是有效的排斥。

现在我们把这个例子抽象为量子世界：红、蓝带扣分别对应着自旋向上和向下的粒子，在非厄米条件下，粒子的运动具有了方向偏好，向左和向右不再是等价的选择。于是，这两类粒子之间，也会表现出类似的单向吸引行为。

吴从军指出，这里的情况和单粒子厄米趋肤效应中开放边界所导致束缚态不同：非厄米性会所导致自旋相反的粒子间彼此趋近，形成的其实是共振态。这里面，量子世界的关键特征——隧穿效应扮演了重要角色。这些粒子不会永远地被捆绑在一起而成为束缚态，它们最终会“穿身而过”而分开，这就是共振效应。和在高能物理、原子物理以及固体物理中常见的共振态不同，这个共振是单向的，可以称之为“单向共振效应“。

解决了两个电子的单向共振问题后，要进一步把它推广到考虑很多个电子的问题，即解决“多体共振效应”的问题。对于两分量的电子来说，其波函数的复杂度骤然上升。打个比方，如果系统中有100个上下自旋的粒子，那么波函数将包含2100个分量。假设你每秒检查其中一个分量，从宇宙大爆炸数到现在，也刚检查了个零头。

杨振宁先生的杨-巴克斯特方程是在处理这个问题上重要的工具。王越花了很多精力研读杨先生的经典工作，打下了研究可积模型的良好基础。传统上，根据杨-巴克斯特方程可以解出系统的能量，但是因为相应的波函数过于复杂，很难从中获得粒子关联等有用的信息。

但是灵感，就是在此刻开始的。

在一个并不起眼的早晨，王越迷迷糊糊醒来，开始在脑海中重新“过一遍”整个的波函数。从两个粒子之间的相互运动开始想象，进一步拓展到三个、四个、五个……他突然间意识到，这个看似无比庞杂的多体波函数，它的分量之间似乎共享着一个相同的结构。

换句话说，或许它可以被因式分解。

这可就有意思了。真正能够因式分解的波函数，在教科书中屈指可数。而能够因式分解，意味着这个究极复杂的波函数，并不是一团纠缠在一起的乱麻，它将可以被拆成几个结构清晰、彼此关联的部分，同时也具备了真正的物理意义。

他赶紧去办公室验证计算，发现猜想真的成立！

王越说：这是一个Eureka时刻。相传公元前 3 世纪，阿基米德在浴缸中意识到浮力的本质，于是他高喊了那一声：我找到了！

混沌中长出秩序

团队解出来的波函数结构，则进一步解释了这个模型的微观量子世界中，多体单向共振效应是如何实现的：

通过分解因式，这个波函数可以清晰地拆分为两部分，一边描述的是同一种粒子之间的排斥效应：由于泡利不相容原则，同种自旋的粒子无法“和谐相处”，它们会天然地避开彼此；波函数的另一边，则描述了粒子的关联效应，它对应的正是不同自旋粒子之间，由多体单向共振机制所产生的单向吸引。

这两种机制的相互竞争，能够催生一种奇特的相变。

当共振效应较弱时，泡利不相容原则占主导。同类型上旋粒子彼此排斥，尽量均匀地“互相不挨着”；而不同粒子之间仍存在微弱的共振效应，有一点像是“异性相吸”，于是系统呈现出一种由粒子对组成的均匀结构（如左图所示）。

而当共振效应足够强时，情况发生了根本变化。每一个上自旋粒子，都希望把所有的下自旋粒子拉到自己的右侧，而每一个下自旋粒子，也想要所有的上自旋粒子拉到自己的左侧。这种偏好如此强烈，以至于甚至压倒了泡利不相容原理带来的排斥作用，最终导致两类粒子在空间上的分离（如右图所示）。

就这样，在一个本应高度无序的量子多体系统中，秩序以一种出人意料的方式，自发地出现了。

这本质上是一种排斥相互作用诱导的吸引相互作用。

研究团队还进一步计算了可观测量“自旋偶极子”，并发现其数值会随着共振强度的变化而发生突变。这一结果，为上述竞争机制主导的相变，提供了直接而清晰的物理证据。

吴从军课题组合影（吴从军：一排中间；王越：一排右一）

吴从军于2021年加入西湖大学，组建新奇物态及其组织原理实验室。他常说，其追求的是数学的优美性和物理世界真实性的统一。

这个世界也许复杂、开放、纠缠，但并不意味着它没有规律。物理规律之美，就潜藏于这些复杂性本身之中。

西湖大学理学院博士生王越为文章第一作者，西湖大学讲席教授吴从军、厦门大学教授杨哲森为文章通讯作者。